Ôn tập Phân thức đại số có đáp án – Phần 10

Tìm dư khi chia các đa thức sau

a) $x^{41}:\left(x^2+1\right)$

b) $x^{43}:\left(x^2+1\right).$

Tìm dư khi chia $x+x^3+x^9+x^{27}$ cho

a) $x–1$

b) $x^2–1$

Tìm dư khi chia $x^{99}+x^{55}+x^{11}+x+7$ cho $x+1$

Tìm dư khi chia $x^{99}+x^{55}+x^{11}+x+7$ cho $x^2+1$

Tìm dư khi chia đa thức $f\left(x\right)=x^{50}+x^{49}+\mathrm{\dots }+x^2+x+1$ cho $x^2–1$

Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x-2 thì dư 5, f(x) chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư.

Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 2, f(x) chia cho x+4 thì dư 9, còn f(x) chia cho $x^2+x-12$ thì được thương $x^2+3$ và còn dư.

Khi chia đơn thức $x^8$ cho $x+\frac{1}{2}$, ta được thương là B(x) và dư là số $r_1$. Khi chia B(x) cho $x+\frac{1}{2}$ ta được thương là C(x) và dư là số $r_2$. Tính $r_2$

Chứng minh rằng:

a) $x^{50}+x^{10}+1$ chia hết cho $x^{20}+x^{10}+1$

b) $x^2-x^9-x^{1945}$ chia hết cho $x^2-x+1$

c) $x^{10}-10x+9$ chia hết cho ${\left(x-1\right)}^2$

d) $8x^9–9x^8+1$ chia hết cho ${\left(x-1\right)}^2$

Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x) với:

$f\left(x\right)=x^{99}+x^{88}+x^{77}+\mathrm{\dots }+x^{11}+1$

$g\left(x\right)=x^9+x^8+x^7+\mathrm{\dots }+x+1$

Chứng minh rằng đa thức $(x+y{)}^6+(x–y{)}^6$ chia hết cho đa thức $x^2+y^2$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:

a) ${\left(x+1\right)}^{2n}–x^{2n}–2x–1$ chia hết cho $x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)$

b) $x^{4n+2}+2x^{2n+1}+1$ chia hết cho ${\left(x+1\right)}^2$

c) ${\left(x+1\right)}^{4n+2}+{\left(x–1\right)}^{4n+2}$ chia hết cho $x^2+1$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì $\left(x^n–1\right)\left(x^{n+1}–1\right)$ chia hết cho $\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì $x^{6m+4}+x^{6n+2}+1$ chia hết cho $x^2-x+1$

Tìm số tự nhiên n sao cho $x^{2n}+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$

Xác định số k để đa thức $A=x^3+y^3+z^3+kxyz$ chia hết cho đa thức x+y+z

Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.