Bài tập Parabol có đáp án

Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3.18).

a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc parabol thì điểm N(x0; –y0) có thuộc parabol hay không?

b) Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6; 6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).

Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3. 19).

a) Nêu toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn Δ của parabol.

b) Cho điểm M(x0; y0) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với d(M; Δ), từ đó, tính MF theo x0 và y0. Độ dài MF gọi là bán kinh qua tiêu của điểm M.

Cho parabol có phương trình y2 = 8x. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.

Một sao chổi chuyền động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?

Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.

a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;

b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;

c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;

d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một ngôi sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Cho parabol có phương trình y2 = 12x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm $M(3;3\sqrt{2})$ . Tìm bán kính qua tiêu và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P).

Xét đèn có bát đáy parabol với kích thước được thể hiện trên Hinh 3.20.

Dây tóc bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm. Tính khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy.

Anten vệ tinh parabol ở Hình 3.21 có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng enten là 240 cm, khoảng cách từ vị tri đặt đầu thu tới miệng anten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten.

Chứng tỏ rằng nếu điểm M(x₀; y₀) nằm trên parabol (P) thì điểm M'(x₀; –y₀) cũng nằm trên parabol (P).

Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau:

a) (P₁): $y^2$= 2x;

b) (P₂): $y^2$= x;

c) $\left(P_3\right):y^2=\frac{1}{5}x$.

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d: x + 2 = 0. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm J(x; y) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Cho điểm M(x; y) trên parabol (P): y2 = 2px (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm F của (P).

• Lấy đáp án câu hỏi

Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng:

a) Điểm M₁(1; –4) trên (P₁): $y^2$ = 16x;

b) Điểm M₂(3; –3) trên (P₂): $y^2$= 3x;

c) Điểm M₃(4; 1) trên $\left(P_3\right)$: $y^2=\frac{1}{4}x$.

Một cồng có dạng một đường parabol (P). Biết chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9 m. Người ta muốn treo một ngôi sao tại tiêu điểm F của (P) bằng một đoạn dây nối từ đỉnh S của cổng. Tính khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng.

• Lấy đáp án câu hỏi

Mặt cắt của một chảo ăng-ten có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc $y^2$= 0,25x. Biết đầu thu tín hiệu của chảo ăng-ten đặt tại tiêu điểm F của (P). Tính khoảng cách từ điểm M(0,25; 0,25) trên ăng-ten đến F.

• Lấy đáp án câu hỏi

Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) (P₁): $y^2$= 7x;

b) $\left(P_2\right):y^2=\frac{1}{3}x$;

c) $\left(P_3\right):y^2=\sqrt{2}x$.

Tính bán kính qua tiêu của điểm đã cho trên các parabol sau:

a) Điểm M₁(3; –6) trên (P₁): $y^2$= 12x;

b) Điểm M₂(6; 1) trên $\left(P_2\right):y^2=\frac{1}{6}x$;

c) Điểm $M_3(\sqrt{3};\sqrt{3})$ trên $\left(P_3\right):y^2=\sqrt{3}x$.

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1/4; 0) và đường thẳng d: x+1/4. Viết phương trình của đường (P) là tập hợp tâm M(x; y) của các đường tròn (C) di động nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Cho parabol (P). Trên (P) lấy hai điểm M, N sao cho đoạn thẳng MN đi qua tiêu điềm F của (P). Chứng minh rằng khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến đường chuẩn Δ của (P) bằng 1/2 MN và đường tròn đường kính MN tiếp xúc với Δ.

Hãy so sánh bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) với bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P).

b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

Mặt cắt của gương phản chiếu của một đèn pha có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc $y^2$= 6x. Tính khoảng cách từ điểm $M(1;\sqrt{6})$ trên gương đến tiêu điểm của (P) (với đơn vị trên hệ trục toạ độ là xentimét).