Bài 3: Phương trình đường thẳng

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng $∆$ trong các trường hợp sau: $∆$ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (3; 3; 1)

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng $∆$ trong các trường hợp sau: $∆$ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x – y + z + 9 = 0

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng $∆$ trong các trường hợp sau: $∆$ đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Viết phương trình của đường thẳng $∆$ nằm trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): x + 2z = 0 và cắt hai đường kính

${\mathrm{d}}_1\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1–\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=4\mathrm{t}\end{array}\right.$và ${\mathrm{d}}_2\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2–\mathrm{t}‘\\ \mathrm{y}=4+2\mathrm{t}‘\\ \mathrm{z}=4\end{array}\right.$

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1–\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ($\mathrm{\alpha }$): x + 2y + z – 3 = 0

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2–\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ($\mathrm{\alpha }$): x + z + 5 = 0

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3–\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2–\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1+2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ($\mathrm{\alpha }$): x + y + z – 6 = 0

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}–1}{2}=\frac{\mathrm{z}+3}{3}$

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: $\mathrm{d}‘:\frac{\mathrm{x}–1}{3}=\frac{\mathrm{y}–5}{2}=\frac{\mathrm{z}–4}{2}$

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2–\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $\mathrm{d}‘:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=9+2\mathrm{t}‘\\ \mathrm{y}=8+2\mathrm{t}‘\\ \mathrm{z}=10–2\mathrm{t}‘\end{array}\right.$

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{at}\\ \mathrm{z}=2–\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $\mathrm{d}‘:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}‘\\ \mathrm{y}=\mathrm{a}+4\mathrm{t}‘\\ \mathrm{z}=2–2\mathrm{t}‘\end{array}\right.$

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng $∆$: $\frac{\mathrm{x}–1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$

Cho đường thẳng: $∆:\frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}+1}{2}$ và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x – 2y + z + 3 = 0.

Chứng minh rằng $∆$ song song với ($\mathrm{\alpha }$).

Cho đường thẳng: $∆:\frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}+1}{2}$ và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x – 2y + z + 3 = 0.

Tính khoảng cách giữa $∆$ và ($\mathrm{\alpha }$).

$∆:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=–1–\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\mathrm{và}∆‘\right.:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2–3\mathrm{t}‘\\ \mathrm{y}=2+3\mathrm{t}‘\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}‘\end{array}\right.$

$∆:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=4–\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=–1+2\mathrm{t}\end{array}\mathrm{và}∆‘\right.:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}‘\\ \mathrm{y}=2–3\mathrm{t}‘\\ \mathrm{z}=–3\mathrm{t}‘\end{array}\right.$

Cho hai đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}–1}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}–4}{–2}$ $∆‘:\frac{\mathrm{x}+2}{–4}=\frac{\mathrm{y}–1}{–2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Xét vị trí tương đối giữa $∆$ và $∆$′

Cho hai đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}–1}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}–4}{–2}$ $∆‘:\frac{\mathrm{x}+2}{–4}=\frac{\mathrm{y}–1}{–2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Tính khoảng cách giữa $∆$ và $∆$′.

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}–1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{–1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng $∆$

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}–1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{–1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng $∆$

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$)

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$)

Cho hai đường thẳng: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}–1}{–1}=\frac{\mathrm{y}–2}{2}=\frac{\mathrm{z}}{3}$ và $\mathrm{d}‘\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}‘\\ \mathrm{y}=3–2\mathrm{t}‘\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$ Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.

Cho mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}–1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{–3}$

Gọi M là giao điểm của d và ($\mathrm{\alpha }$), hãy viết phương trình của đường thẳng $∆$ đi qua M vuông góc với d và nằm trong ($\mathrm{\alpha }$)

${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}–1}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{–3}=\frac{\mathrm{z}–5}{4}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1–2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Chứng minh rằng ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ cùng nằm trong một mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$).

${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}–1}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{–3}=\frac{\mathrm{z}–5}{4}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1–2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Viết chương trình của ($\mathrm{\alpha }$).