d) Chứng minh rằng OA ⊥ EF

Thể tích bình hình trụ: $\pi .0,5^2.2\approx 1,57\left(d{m}^3\right)$

Thể tích viên bi hình cầu: $\frac{4}{3}.\pi .0,4^3\approx 0,27\left(d{m}^3\right)$

Số lít nước đổ vào đầy bình: $1,57-0,27=1,3\left(d{m}^3\right)=1,3$ (lít)

b) Ta có : $\Delta AKB;\Delta AKC$ nội tiếp đường tròn (O) có AK là đường kính

$\Rightarrow \Delta AKB$ vuông tại B và $\Delta AKC$ vuông tại C.

Mà H là trực tâm $\Delta ABC$ (AD, BE là hai đường cao cắt nhau tại H)

$\Rightarrow CH\perp AB$

$\Rightarrow BK//CH$ (cùng vuông góc với AB) và $BK//CH$ (cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow$ Tứ giác BHCK là hình bình hành.

Có M là trung điểm của đường chéo BC nên M cũng là trung điểm của đường chéo HK.

Vậy 3 điểm H, M, K thẳng hàng.

c) Ta có:

+) BE//CK (cmt)$\Rightarrow \widehat{CBE}=\widehat{BCK}$ (hai góc so le trong).

+) $\widehat{BCK}=\widehat{BAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BK}$)

+) $\widehat{BAK}=\widehat{FDC}$ (Tứ giác ABDF nội tiếp)

Nên $\widehat{EBC}=\widehat{FDC}$ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị suy ra BE//DF

Ta lại có: IM là đường trung bình của $\Delta ABC$ (I, M lần lượt là trung điểm của AB và BC)

$\Rightarrow IM\text{//}AC$

Mà $BE\perp AC$ nên $BE\perp IM\Rightarrow IM\perp DF$ (1)

Ta có: ID, IF lần lượt là 2 đường trung tuyến của 2 tam giác ABD và ABF ứng với cạnh huyền $AB\Rightarrow ID=IF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra IM là đường trung trực của DF