Chọn câu đúng.

Ta có \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.

Khi đó \(d\left( {C',\left( {AB'C} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = h\).

Có \(BB',BC,BA\) đôi một vuông góc nên

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{{B'}^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}}\)\( = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\)\( \Rightarrow h = \frac{{2a}}{3}\).

a) Vì \(\Delta SAB\) đều, \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(SM \bot AB\).

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot NC\) (1).

Vì \(\Delta DAM = \Delta CDN\) (do \(DA = DC,\widehat A = \widehat D = 90^\circ ;AM = DN\)) nên \(\widehat {DMA} = \widehat {CND}\).

Có \(\widehat {DMA} + \widehat {ADM} = 90^\circ \) nên \(\widehat {CND} + \widehat {ADM} = 90^\circ \).

Suy ra \(CN \bot DM\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: \(CN \bot \left( {SMD} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SMD} \right) \bot \left( {SNC} \right)\).

b) Gọi \(E = MD \cap CN\)

Hạ \(MH \bot SE\) tại \(H\) mà \(CN \bot MH\)(do \(CN \bot \left( {SMD} \right)\)) nên \(MH \bot \left( {SNC} \right)\).

Do đó \(d\left( {M,\left( {SNC} \right)} \right) = MH\).

Tam giác \(SAB\) đều có SM là trung tuyến nên \(SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác \(CND\) vuông có \(DE\) là đường cao nên \(\frac{1}{{D{E^2}}} = \frac{1}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{C^{^2}}}}\). Suy ra \(DE = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

\[\begin{array}{l}DM = \sqrt {A{M^2} + A{{\rm{D}}^{^2}}} \, = \,\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\\ME = \,M{\rm{D}} - DE = \,\frac{{3{\rm{a}}\sqrt 5 }}{{10}}\end{array}\]

\[SM \bot (ABC{\rm{D}})\] nên \(SM \bot ME\).

Tam giác \(SME\) vuông tại \(M\) có \(MH\) là đường cao nên \(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{E^{^2}}}}\).

Suy ra: \(MH = \frac{{3{\rm{a}}\sqrt 2 }}{8}\)

Gọi \(N\) là trung điểm \(BB'\)\( \Rightarrow MN//B'C\, \Rightarrow B'C//\left( {AMN} \right)\,\).

Khi đó \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Ta có \(BC \cap \left( {AMN} \right) = M\) và \(MB = MC\) nên \(d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\). Tứ diện\(BAMN\)có \(BA,\,BM,\,BN\) đôi một vuông góc nên: \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}} + \frac{1}{{B{N^2}}}\)

\(AB = 2a = BC\).

\(BN = \frac{1}{2}BB' = \frac{1}{2}AA' = \frac{{2a}}{2} = a\).

\(BM = \frac{1}{2}BC = a\).

Suy ra \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}} \Rightarrow {h^2} = \frac{{4{a^2}}}{9} \Rightarrow h = \frac{{2a}}{3}\).