∆ 1 trùng với ∆ 2 .

Hướng dẫn giải:

+ Nếu \(\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)\) ≤ 90° thì (∆₁, ∆₂) = \(\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)\). Do đó, cos(∆₁, ∆₂) = cos\(\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)\) và \(cos\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right) \ge 0\).

+ Nếu \(\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)\) > 90° thì (∆₁, ∆₂) = 180° – \(\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)\). Do đó, cos(∆₁, ∆₂) = – cos\(\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)\) và \(cos\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right) < 0\).

Từ hai trường hợp trên, ta suy ra cos(∆₁, ∆₂) = \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)} \right|\).

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆₁ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, - \,1} \right)\).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 1;\,\,3} \right)\).

Do đó ta có, cos(∆₁, ∆₂) = \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,\,.\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {2\,.\,\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right)\,.\,3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \,\,.\,\,\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy (∆₁, ∆₂) = 45°.

Hướng dẫn giải:

Điểm H thuộc đường thẳng MH nên gọi tọa độ H(– 1 + 2t; 1 + t).

Do H là hình chiếu của M lên ∆, do đó H cũng thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình ∆, thay vào ta được:

2(– 1 + 2t) + (1 + t) – 4 = 0 ⇔ 5t – 5 = 0 ⇔ t = 1.

Do đó H(1; 2).

Vậy độ dài đoạn thẳng MH là MH = \(\sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Cho x = 0, thay vào phương trình đường thẳng ∆₁, ta được: 0 – y + 1 = 0 ⇔ y = 1.

Do đó, điểm A(0; 1) thuộc đường thẳng ∆₁.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ∆₁ và ∆₂ là:

\(d\left( {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right) = d\left( {A,\,\,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \).